تقدیر این است که ریاضیات تا ابد باقی بماند .                                            (کورت گودل )

انتخاب كنيم يا نه؟

 

شايد تا حالا راجع به اصل انتخاب چيز‌هايي شنيده باشيد . اين اصل از اصول موضوع نظريه مجموعه‌هاست و به اين صورت تعريف مي‌شود.

اصل انتخاب:

 اگرA  مجموعه‌اي باشد كه اعضاي آن مجموعه‌هاي ناتهي و جدا از هم باشند ، آنگاه مجموعه‌اي مانندB وجود دارد كه شامل عضوي از هر يك از اعضايA است.

اين اصل بيان مي‌كند كه مي‌توان از هر عضو A  يك عضو انتخاب كرد و همه اين اعضا را در يك مجموعه قرار داد و اين مجموعه را B  ناميد و اغلب در جاهايي به كار گرفته مي‌شود كهA  نامتناهي باشد. و معادل‌هاي فراواني از جمله اصل خوشترتيبي و لم زورن و... دارد(مباني رياضي كه خاطر شريفتان  هست) .از نتايج اين اصل مي‌توان به ساختن پايه يك فضاي برداري اشاره كرد. خلاصه اين كه اين اصل نقش پررنگي! در بسياري از شاخه‌هاي رياضيات دارد.اما گاهي نتايج عجيب و غريبي به دنبال دارد كه جماعت رياضيدان را حسابي كلافه مي‌كند تا آنجايي كه باعث مي‌شود اين اصل را تافته جدا بافته دانسته و بگويند اصل انتخاب از ديگر اصول موضوع نظريه مجموعه‌ها جداست.توجه كنيد كه نمي‌توانيم آن را رد كنيم چون قضاياي اساسي آناليز تابعي به آن وابسته‌اند. از اين رو چاره‌اي جز انتخاب نداريم!!!  

اما در اين پست مي‌خواهم يكي از پارادوكس‌هاي منتج از اصل انتخاب را بنويسم.

در سال 1924 باناخ و تارسكي به كمك اصل انتخاب قضيه بسيار عجيبي را ثابت كردندكه با استنباط شهودي ما در تناقض است. صورت خودماني اين پارادوكس اين جوري است.

پارادوكس باناخ- تارسكي :

دو كره صلب S,T  در  R^3با شعاع‌هاي احتمالا متفاوت با تجزيه متناهي همنهشتند .

واما همانطور كه ميدانيم دو مجموعه در  R^3باهم همنهشت‌اند هرگاه بتوانيم يكي را با كمك دوران و انتقال بر روي ديگري بنشانيم. ودو مجموعه S,Tبا تجزيه متناهي هم‌نهشت‌اند در صورتي كه:

الف )                _n S=S₁ U S₂ U …  U S_n         ,         T=T₁ U T₂ U…   U T

ب ) S_i Π S_j = Φ                         T_i Π T_j  = Φ    (i≠ j)        

ج ) با ازاي هر   i=1,2,…,n  ،S_i   همنهشت T_i  باشد .                                 

اما همانطور كه قبلا گفتيم اين موضوع(همنهشتي دو كره با شعاع متفاوت) با منطق شهودي ما منطبق نيست.وبه همين دليل رياضيدانان در سالهاي اخير كوششهاي فراواني براي جايگزيني اصل انتخاب ميكنند.

نظر شما چيه؟

 

اینو بخون

   30 24 4 31 1 32 32 25 31 10 27 4 28 32 26 32 12 31 30 28 32 9 30 1 32 13 32 12 27 2 + 32 31 7 32 13 32 13 28 13 28 31 25 29 32 + 32 31 27 8 20 31 2 16 32 29 33
   2 31 9 30 10 4 23 25 12 25 29
   2 31 9 30 10 4
   2 31 9 30 10 4 – 25 31 12 30 8 4 26 12 31 9 30 12 10 31 2 31 32 31 31 28 12 1 31 31 28 32 16 26 32 -
25 1 23 32 32 31 1 31 15 4 31 1 15 28 16 12 30 17 10 1 2 13 29 32 33
   1 30 29 31 28 32 16 31 [phone] 4 30 + 4 30 32 4 28 30 28 27 8 20 31 31 1 [phone] 28 25 30 4 1 31 32 31 1 4 2 1 13 28 ... 2 1 13 28 28 32 9 30 1 10 33 30 12 23 32 24 1 30 29 10 27 26 12 23 4 31 4 30 15 4 33
   2 31 16 1 21 4 28 1 10 25 29 30 1 28 32 10 30 1 12 2 1 16 33
                                     15 1 27 9 30 2 32 10 1 16 4 31 2 1 16 32 33

 

خط هاي راست موازي
در بي نهايت به هم مي رسند
اقليدس مرتب تكرار مي كرد
و با حرارت تأكيد مي كرد
تا روزي كه مرد
و به آن حوالي رسيد
و در آنجا تازه فهميد
كه اين خط هاي راست بي همه چيز
از هم دور مي شوند.


«پليت هاين»

هندسه دلها

 

كتاب هندسه ام عاشق شما شده بود

كه با قضيه چشم تو آشنا شده بود

چگونه نقطه ـ كه از خود نه طول داشت  نه عرض ـ

دليل بودن خط‌ها و قوسها شده بود

مساحتي كه به خط كش حساب مي كرديم

در آن چگونه همه كائنات جا شده بود

فضاي لايتناهي مقابل چه كسي

دچار حالت تسليم و انحنا شده بود

پسر به خانه مي آمد كه ديد بادبادك

بدون نخ وسط آسمان رها شده بود

پدر بزرگ دلش جرم بود و ماده بود

ولي به سرعت نور از تنش جدا شده بود

كتاب هندسه افتاد و صفحه اي آمد

كه ميل منحني دل سوي خدا شده بود

شعر از علی رضا دهقانیان

آنالیز

سلام

دوست محترمي خواسته بودند كمكشان كنيم مجموعه‌اي پيدا كنند كه بسته باشد ، اما فشرده نباشد. خودمانيم‌ها پيچيده‌تر از آناليز هم درسي پيدا ميشه؟به نظر شما آسونه؟ مارو كه بدجوري پيچونده!

براي يادآوري ابتدا فرع يك قضيه را بيان ميكنيم.

فرع:

        A زيرمجموعه  R ^K فشرده است اگرو فقط اگرA    بسته و كراندار باشد.

و اما جواب :

در R^2  مجموعه { {(X,Y) : X≥1 , 0≤Y≤1/X  بسته است ولي كراندار نيست . پس فشرده نيست.البته دلمان نمي‌خواست مستقيما جواب رو بگيم  ولي گفتيم.

 

توابع مختلط

     شما مرا نميشناسيد و اين از نظر من يك حسن است چون نميتوانيد راجع به من پيشداوري كنيد و به من بگوييد خرخوان (اين اسمي است كه همكلاسي‌هاي بي انصافم روي من گذاشته اند )و خيلي خوشحالم كه ميتوانم نظر خودم و جمعي از دانشمندان را در اين وبلاگ تازه متولد شده بنويسم .براي شروع نكته‌اي از توابع مختلط مينويسم كه اتفاقا جوان هم هست ( در مقايسه با ساير شاخه‌هاي رياضي مثلا هندسه كه خيلي پيراست عرض ميكنم ).

 

    برخلاف سينوس و كسينوس اعداد حقيقي، سينوس و كسينوس اعداد مختلط از يك كوچكتر نيستند.مثلا اندازه سينوس ده برابر يكه موهومي يا كسينوس آن از ده هزار بزرگتر است .

    حالا فهميديد اونهايي كه اين نكته ساده رو نميدونن در محاسبه حدود شامل توابع مختلط ممكنه چقدر اشتباه كنن.و اما دليل اين موضوع با توجه به تعريف اين توابع (كه بر حسب مجموع يا تفاضل دو تابع نمايي است )كاملا روشن است .  

هندسه کروی

برای اولین مطلب مي خواهم كمي درباره هندسه هاي نا اقليدسي و مخصوصا هندسه كروي صحبت كنم.

همانطور كه مي دانيد در يك فضاي اقليدسي دو بعدي هر دو خط عمود بر يك خط موازي اند. از طرف ديگر وقتي دو خط موازي اند خطي (در واقع بينهايت خط) عمود بر اين دو خط وجود دارد. در انواع هندسه ها اين خواص برقرار نيستند به عنوان مثال در "صفحه تصويري" ممكن است دو خط بر يك خط عمود باشند ولي موازي يكديگر نباشند. از طرف ديگر در "صفحه هذلولوي" خطوط موازي ممكن است عمود مشترك نداشته باشند.

با اين مقدمه توضيح "هندسه كره" را آغاز مي كنيم.

اگر چه با در نظر گرفتن كره به عنوان زير مجموعه‌اي از فضاي اقليدسي سه بعدي، هندسه آن بهتر فرمولبندي مي گردد ولي انگيزه شهودي ما بايد ذاتي باشد و ديدگاه ما بايد از بطن كره ناشي شود. به عبارت ديگر احكام هندسي مورد نظر بايد در رابطه با خود كره باشند نه در رابطه با نقاطي از فضا كه داخل يا خارج از آنند.

ديدگاه ما نسبت به مسأله ناشي از احساس حشره ايست كه روي رويه دوبعدي كره در حال حركت است. اگر از بيرون به اين حشره نگاه كنيم حركت اين حشره را روي يك مسير دايره وار مي بينيم اما اگر از ديدگاه حشره به مسير حركت نگاه كنيم اين حركت به صورت يك خط مستقيم مي باشد.

 از اين رو مفاهيم نقطه، خط، فاصله، زاويه و انعكاس را چنان تعريف مي كنيم كه با تجربه حشره مطابقت داشته باشد. (نمي دانم چرا اينجا ياد يكي از دبيرهاي هندسه دوره دبيرستانم مي افتم كه به شوخي به دانش آموزان شيطنت كار كلاس با آن لحن توپر و صداي بم ومحكمش لقب حشره موذي! اعطا مي كرد. يادش بخير!)

اهميت هندسه كروي وقتي بيشتر نمود پيدا مي كند كه بدانيم سياره اي كه ما در آن زندگي مي كنيم به شكل كره است و همه مسيرهاي مستقيمي كه ما بر روي آن در نظر مي گيريم با ديد حشره مطابقت دارد و براي ما يك خط مستقيم است در حالي كه در واقع چنين نيست. به علت بزرگ بودن مساحت سطح كره زمين و براي راحتي كار با يك تقريب خطاي جزيي مسيرهاي مستقيم همان خطهاي فضاي اقليدسي در نظر گرفته مي شوند!

همانطور كه گفتم هندسه كروي يك "هندسه نا اقليدسي" است. اين بدان معناست كه وقتي شكلي را توسط نموداري نشان مي دهيم از شكل طبيعي خارج كردن آن اجتناب ناپذير است. به عنوان مثال نموداري كه جنبه اي از شكل مثلا مستقيم بودن خط را به خوبي نشان مي دهد برخي از جنبه هاي ديگر آن را از شكل طبيعي و ملموس ما خارج مي كند. از اين رو استدلال هاي مبتني بر نمودار چندان كارآيي نمي تواند داشته باشد. ولي استفاده از آنها در بعضي موارد سودمند است. به عنوان مثال شكل هاي زير دو شيوه تفكر درباره يك نقطه و خط قطبي آن را نشان مي دهند.

چشم انداز اول                                چشم انداز دوم

 

 

دو خط متقاطع (چشم انداز اول)            (چشم انداز دوم)