تقدیر این است که ریاضیات تا ابد باقی بماند .                                            (کورت گودل )

انتخاب كنيم يا نه؟

 

شايد تا حالا راجع به اصل انتخاب چيز‌هايي شنيده باشيد . اين اصل از اصول موضوع نظريه مجموعه‌هاست و به اين صورت تعريف مي‌شود.

اصل انتخاب:

 اگرA  مجموعه‌اي باشد كه اعضاي آن مجموعه‌هاي ناتهي و جدا از هم باشند ، آنگاه مجموعه‌اي مانندB وجود دارد كه شامل عضوي از هر يك از اعضايA است.

اين اصل بيان مي‌كند كه مي‌توان از هر عضو A  يك عضو انتخاب كرد و همه اين اعضا را در يك مجموعه قرار داد و اين مجموعه را B  ناميد و اغلب در جاهايي به كار گرفته مي‌شود كهA  نامتناهي باشد. و معادل‌هاي فراواني از جمله اصل خوشترتيبي و لم زورن و... دارد(مباني رياضي كه خاطر شريفتان  هست) .از نتايج اين اصل مي‌توان به ساختن پايه يك فضاي برداري اشاره كرد. خلاصه اين كه اين اصل نقش پررنگي! در بسياري از شاخه‌هاي رياضيات دارد.اما گاهي نتايج عجيب و غريبي به دنبال دارد كه جماعت رياضيدان را حسابي كلافه مي‌كند تا آنجايي كه باعث مي‌شود اين اصل را تافته جدا بافته دانسته و بگويند اصل انتخاب از ديگر اصول موضوع نظريه مجموعه‌ها جداست.توجه كنيد كه نمي‌توانيم آن را رد كنيم چون قضاياي اساسي آناليز تابعي به آن وابسته‌اند. از اين رو چاره‌اي جز انتخاب نداريم!!!  

اما در اين پست مي‌خواهم يكي از پارادوكس‌هاي منتج از اصل انتخاب را بنويسم.

در سال 1924 باناخ و تارسكي به كمك اصل انتخاب قضيه بسيار عجيبي را ثابت كردندكه با استنباط شهودي ما در تناقض است. صورت خودماني اين پارادوكس اين جوري است.

پارادوكس باناخ- تارسكي :

دو كره صلب S,T  در  R^3با شعاع‌هاي احتمالا متفاوت با تجزيه متناهي همنهشتند .

واما همانطور كه ميدانيم دو مجموعه در  R^3باهم همنهشت‌اند هرگاه بتوانيم يكي را با كمك دوران و انتقال بر روي ديگري بنشانيم. ودو مجموعه S,Tبا تجزيه متناهي هم‌نهشت‌اند در صورتي كه:

الف )                _n S=S₁ U S₂ U …  U S_n         ,         T=T₁ U T₂ U…   U T

ب ) S_i Π S_j = Φ                         T_i Π T_j  = Φ    (i≠ j)        

ج ) با ازاي هر   i=1,2,…,n  ،S_i   همنهشت T_i  باشد .                                 

اما همانطور كه قبلا گفتيم اين موضوع(همنهشتي دو كره با شعاع متفاوت) با منطق شهودي ما منطبق نيست.وبه همين دليل رياضيدانان در سالهاي اخير كوششهاي فراواني براي جايگزيني اصل انتخاب ميكنند.

نظر شما چيه؟

 

اینو بخون

   30 24 4 31 1 32 32 25 31 10 27 4 28 32 26 32 12 31 30 28 32 9 30 1 32 13 32 12 27 2 + 32 31 7 32 13 32 13 28 13 28 31 25 29 32 + 32 31 27 8 20 31 2 16 32 29 33
   2 31 9 30 10 4 23 25 12 25 29
   2 31 9 30 10 4
   2 31 9 30 10 4 – 25 31 12 30 8 4 26 12 31 9 30 12 10 31 2 31 32 31 31 28 12 1 31 31 28 32 16 26 32 -
25 1 23 32 32 31 1 31 15 4 31 1 15 28 16 12 30 17 10 1 2 13 29 32 33
   1 30 29 31 28 32 16 31 [phone] 4 30 + 4 30 32 4 28 30 28 27 8 20 31 31 1 [phone] 28 25 30 4 1 31 32 31 1 4 2 1 13 28 ... 2 1 13 28 28 32 9 30 1 10 33 30 12 23 32 24 1 30 29 10 27 26 12 23 4 31 4 30 15 4 33
   2 31 16 1 21 4 28 1 10 25 29 30 1 28 32 10 30 1 12 2 1 16 33
                                     15 1 27 9 30 2 32 10 1 16 4 31 2 1 16 32 33

 

آنالیز

سلام

دوست محترمي خواسته بودند كمكشان كنيم مجموعه‌اي پيدا كنند كه بسته باشد ، اما فشرده نباشد. خودمانيم‌ها پيچيده‌تر از آناليز هم درسي پيدا ميشه؟به نظر شما آسونه؟ مارو كه بدجوري پيچونده!

براي يادآوري ابتدا فرع يك قضيه را بيان ميكنيم.

فرع:

        A زيرمجموعه  R ^K فشرده است اگرو فقط اگرA    بسته و كراندار باشد.

و اما جواب :

در R^2  مجموعه { {(X,Y) : X≥1 , 0≤Y≤1/X  بسته است ولي كراندار نيست . پس فشرده نيست.البته دلمان نمي‌خواست مستقيما جواب رو بگيم  ولي گفتيم.

 

توابع مختلط

     شما مرا نميشناسيد و اين از نظر من يك حسن است چون نميتوانيد راجع به من پيشداوري كنيد و به من بگوييد خرخوان (اين اسمي است كه همكلاسي‌هاي بي انصافم روي من گذاشته اند )و خيلي خوشحالم كه ميتوانم نظر خودم و جمعي از دانشمندان را در اين وبلاگ تازه متولد شده بنويسم .براي شروع نكته‌اي از توابع مختلط مينويسم كه اتفاقا جوان هم هست ( در مقايسه با ساير شاخه‌هاي رياضي مثلا هندسه كه خيلي پيراست عرض ميكنم ).

 

    برخلاف سينوس و كسينوس اعداد حقيقي، سينوس و كسينوس اعداد مختلط از يك كوچكتر نيستند.مثلا اندازه سينوس ده برابر يكه موهومي يا كسينوس آن از ده هزار بزرگتر است .

    حالا فهميديد اونهايي كه اين نكته ساده رو نميدونن در محاسبه حدود شامل توابع مختلط ممكنه چقدر اشتباه كنن.و اما دليل اين موضوع با توجه به تعريف اين توابع (كه بر حسب مجموع يا تفاضل دو تابع نمايي است )كاملا روشن است .