برای اولین مطلب مي خواهم كمي درباره هندسه هاي نا اقليدسي و مخصوصا هندسه كروي صحبت كنم.
همانطور كه مي دانيد در يك فضاي اقليدسي دو بعدي هر دو خط عمود بر يك خط موازي اند. از طرف ديگر وقتي دو خط موازي اند خطي (در واقع بينهايت خط) عمود بر اين دو خط وجود دارد. در انواع هندسه ها اين خواص برقرار نيستند به عنوان مثال در "صفحه تصويري" ممكن است دو خط بر يك خط عمود باشند ولي موازي يكديگر نباشند. از طرف ديگر در "صفحه هذلولوي" خطوط موازي ممكن است عمود مشترك نداشته باشند.
با اين مقدمه توضيح "هندسه كره" را آغاز مي كنيم.
اگر چه با در نظر گرفتن كره به عنوان زير مجموعهاي از فضاي اقليدسي سه بعدي، هندسه آن بهتر فرمولبندي مي گردد ولي انگيزه شهودي ما بايد ذاتي باشد و ديدگاه ما بايد از بطن كره ناشي شود. به عبارت ديگر احكام هندسي مورد نظر بايد در رابطه با خود كره باشند نه در رابطه با نقاطي از فضا كه داخل يا خارج از آنند.
ديدگاه ما نسبت به مسأله ناشي از احساس حشره ايست كه روي رويه دوبعدي كره در حال حركت است. اگر از بيرون به اين حشره نگاه كنيم حركت اين حشره را روي يك مسير دايره وار مي بينيم اما اگر از ديدگاه حشره به مسير حركت نگاه كنيم اين حركت به صورت يك خط مستقيم مي باشد.
از اين رو مفاهيم نقطه، خط، فاصله، زاويه و انعكاس را چنان تعريف مي كنيم كه با تجربه حشره مطابقت داشته باشد. (نمي دانم چرا اينجا ياد يكي از دبيرهاي هندسه دوره دبيرستانم مي افتم كه به شوخي به دانش آموزان شيطنت كار كلاس با آن لحن توپر و صداي بم ومحكمش لقب حشره موذي! اعطا مي كرد. يادش بخير!)
اهميت هندسه كروي وقتي بيشتر نمود پيدا مي كند كه بدانيم سياره اي كه ما در آن زندگي مي كنيم به شكل كره است و همه مسيرهاي مستقيمي كه ما بر روي آن در نظر مي گيريم با ديد حشره مطابقت دارد و براي ما يك خط مستقيم است در حالي كه در واقع چنين نيست. به علت بزرگ بودن مساحت سطح كره زمين و براي راحتي كار با يك تقريب خطاي جزيي مسيرهاي مستقيم همان خطهاي فضاي اقليدسي در نظر گرفته مي شوند!
همانطور كه گفتم هندسه كروي يك "هندسه نا اقليدسي" است. اين بدان معناست كه وقتي شكلي را توسط نموداري نشان مي دهيم از شكل طبيعي خارج كردن آن اجتناب ناپذير است. به عنوان مثال نموداري كه جنبه اي از شكل مثلا مستقيم بودن خط را به خوبي نشان مي دهد برخي از جنبه هاي ديگر آن را از شكل طبيعي و ملموس ما خارج مي كند. از اين رو استدلال هاي مبتني بر نمودار چندان كارآيي نمي تواند داشته باشد. ولي استفاده از آنها در بعضي موارد سودمند است. به عنوان مثال شكل هاي زير دو شيوه تفكر درباره يك نقطه و خط قطبي آن را نشان مي دهند.
