شايد تا حالا راجع به اصل انتخاب چيزهايي شنيده باشيد . اين اصل از اصول موضوع نظريه مجموعههاست و به اين صورت تعريف ميشود.
اصل انتخاب:
اگرA مجموعهاي باشد كه اعضاي آن مجموعههاي ناتهي و جدا از هم باشند ، آنگاه مجموعهاي مانندB وجود دارد كه شامل عضوي از هر يك از اعضايA است.
اين اصل بيان ميكند كه ميتوان از هر عضو A يك عضو انتخاب كرد و همه اين اعضا را در يك مجموعه قرار داد و اين مجموعه را B ناميد و اغلب در جاهايي به كار گرفته ميشود كهA نامتناهي باشد. و معادلهاي فراواني از جمله اصل خوشترتيبي و لم زورن و... دارد(مباني رياضي كه خاطر شريفتان هست) .از نتايج اين اصل ميتوان به ساختن پايه يك فضاي برداري اشاره كرد. خلاصه اين كه اين اصل نقش پررنگي! در بسياري از شاخههاي رياضيات دارد.اما گاهي نتايج عجيب و غريبي به دنبال دارد كه جماعت رياضيدان را حسابي كلافه ميكند تا آنجايي كه باعث ميشود اين اصل را تافته جدا بافته دانسته و بگويند اصل انتخاب از ديگر اصول موضوع نظريه مجموعهها جداست.توجه كنيد كه نميتوانيم آن را رد كنيم چون قضاياي اساسي آناليز تابعي به آن وابستهاند. از اين رو چارهاي جز انتخاب نداريم!!!
اما در اين پست ميخواهم يكي از پارادوكسهاي منتج از اصل انتخاب را بنويسم.
در سال 1924 باناخ و تارسكي به كمك اصل انتخاب قضيه بسيار عجيبي را ثابت كردندكه با استنباط شهودي ما در تناقض است. صورت خودماني اين پارادوكس اين جوري است.
پارادوكس باناخ- تارسكي :
دو كره صلب S,T در R3با شعاعهاي احتمالا متفاوت با تجزيه متناهي همنهشتند .
واما همانطور كه ميدانيم دو مجموعه در R3باهم همنهشتاند هرگاه بتوانيم يكي را با كمك دوران و انتقال بر روي ديگري بنشانيم. ودو مجموعه S,Tبا تجزيه متناهي همنهشتاند در صورتي كه:
الف ) n S=S1 U S2 U … U Sn , T=T1 U T2 U… U T
ب ) Si Π Sj = Φ Ti Π Tj = Φ (i≠ j)
ج ) با ازاي هر i=1,2,…,n ،Si همنهشت Ti باشد .
اما همانطور كه قبلا گفتيم اين موضوع(همنهشتي دو كره با شعاع متفاوت) با منطق شهودي ما منطبق نيست.وبه همين دليل رياضيدانان در سالهاي اخير كوششهاي فراواني براي جايگزيني اصل انتخاب ميكنند.
نظر شما چيه؟
